----从2004试题谈把握知识的基础性与准确性

       清华大学数学科学系责任教授  清华大学考研辅导班主讲 刘坤林

1．2004考研数学的基本情况

　　 历年考研数学试卷题目都体现一个规律：考试的核心是知识的基础性、综合性与交叉性。

　　2004年大纲进一步加强了对基础性的要求。准确的概念理解与过硬的计算能力是对考生的基本要求。加强知识的基础性、系统综合性与交叉性的训练，努力提升对知识的洞察力，以不变应万变，排除误导，是我们的建议。关于2004考研试题的特点与结构，有以下几点：

　　（1）试卷分值问题

　　从2003年开始，国家考试中心对数学试卷的分数设定为150分，意味着录取分数线中的数学成绩的权重有50%的提升，这反映了国家对人才的数学素质与能力的重视，但是数学试卷的题目容量并未增加，而是每一题目的赋分值均有增加，比如选择与填空题由原来3分提为4分。对每一个考生来讲，在数学上下的功夫，其价值提高了。

　　2004年数学试卷的分值维持不变。

　　（2）2004试卷结构与大纲变更

　　2004年数学考研大纲，较2003年，有一些局部调整。2004年数学试卷一、二、三、四结构相同，均为23题。其中选择与填空题约占40%（共14小题56分），其余为解答题。

　　2003年为：选择与填空题约占32%（共12小题48分），这反映了对基础知识注重的提升。按学科比例结构如下（大约）：

　　试卷一：微积分60%，代数20%，概率统计20%；

　　试卷二：微积分77%（2004年新增加要求多元微积分学，到二重积分为止），

　　代数23%（要求到特征值与特征向量为止）；

　　试卷三：微积分50%（不含曲线曲面积分与三重积分，以及场论），

　　代数25%（要求到二次型为止），概率统计25%；

　　大纲中将“随机变量的联合分布”的第5条改为“求其简单函数的概率分布”。

　　试卷四：微积分50%（不含曲线曲面积分与三重积分，以及场论），

　　代数25%（要求到特征值与特征向量为止），概率论25%（不含统计）；

　　大纲中将“随机变量的数字特征”的第5条改为“了解切比雪夫不等式”。

　　（3）2004阅卷基本情况

   　 初步估计，平均70分左右，微积分，线性代数与概率统计题目都较基本，估计调档限为80分以上。

　　面对考研，数学考试的特点是全面考察学生对基础知识点理解的准确性、全面性，完整性与系统性，以及对基本知识点交叉综合运用的能力。而普遍的基本状况是：全国现行的大学本科数学与英语的教学水准与国家考研的实际要求相差甚远。

　　加强基础知识准确性、系统综合性与交叉性的训练，是清华考研辅导基础班的特色，一般要保持120-160学时，正是这样的基础班教学，才保证了广大学员大幅度提升对数学知识的洞察力，以不变应万变，在考场上取得技压群雄的良好成绩。

　　2．关于对基础知识点理解的准确性、完整性与系统性

　　基于上述情况，我们的建议是：应该注特别重对基础知识理解的的准确性、完整性与系统性。完全基础性题目一般占60分以上（满分150分），并且，基础性在综合题目中也占有重要的分量。所谓基础知识，包括初等函数的初等性质，构造导数定义的极限模式及其变形，极限存在的命题形式及命题属性（充分的？必要的？还是充要的？），极限运算法则，一阶线性微分方程解的公式，齐次与非齐次线性微分方程解的结构，矩阵的初等变换与秩的概念，向量组的线性相关与无关，向量组的秩与线性方程组解结构之间的关系，概率的事件运算，五个古典概率的基本公式，分布率，分布密度与分布函数的性质及其相互之间关系，数字特征的定义与基本运算公式，简单随机样本及其数字特征，等等。基础性知识的失误往往导致对一个综合题目的切入点错误，最后造成的是全局性错误。同时还应注意基本概念的背景和各个知识点的相互关系，不宜多作难题。对基本题目涉及的方法与技巧多做总结与分析，力争做到举一反三，以一当十，这样的训练会使你遇到个别难题时容易找到切入点与思路。

　　（1）     极限概念与保序性（保号性）的理解与应用

　　极限定义及其等价性描述与质性始终要的基础，对许多概念和方法具有极为重要的指导作用，也常常是某些综合题目的切入点或关键步骤。

　　3. 关于造就居高临下的知识洞察力

　　有了对基础知识点理解的准确性、全面性与综合性，就有了全面提升对知识的洞察力的前提与必要条件，再我们的辅导教学中，会在此基础上，紧密结合典型的考研题型（未必是难题），为学员的考研应试进行全面引导，进而为他们的成功奠定坚实基础。以下几乎属于小品的两个通俗例题可以说明何谓居高临下的知识洞察力。

　　例19 选驸马问题

　　古代某个皇帝选驸马,经预选产生三个最聪明的候选人。

　　决赛规则：三人面向考官按一字形排成一列，考官准备了5顶帽子：三黑两红，从最后一个人开始给三位候选人各带上个一顶帽子，最先说出自己帽子的颜色的热被选定为驸马。

　　结论：面向考官的第一人先说出自己的帽子为黑色。

　　解 设面向考官的第一个人为1号，按顺序，其余两人为分别为2号和3号。以下是出现在1号选手大脑中的思考过程：

　　3号没开口：可看到的是：1、2同色，或1、2异色，而没开口则说明全红为不可能事件；2号没开口：若1为红，则2号必说出自己帽子为黑色（1、2全红为不可能事件），但没说出，此假设应否定。进一步否定3号看到的一种情况：1、2异色为不可能。结论：1号为黑。

　　例20 溶液浓度问题

　　两个同样容积的烧瓶里分别放有甲已两种溶液，现用量杯从甲种溶液里取出一小杯放入已种溶液，搅拌均匀后，再用同一量杯取出一杯放回甲种溶液内，搅拌均匀。问：甲中含已与已中含甲各为多少%？

　　解 方法1 列方程。势必烦琐。

　　方法2  利用逻辑分析，对甲种溶液失去的量就是得到的量。

　　结论：甲中含已与已中含甲比例相同。

　　4．几点建议与防止误导

　　（1）防止误导之一----- 听信某人压题

　　 关于压题，不能作为教学主流。听信某人压题，会导致侥幸心理，进而带着某种病态进入考场，最后往往导致失败。

　　至于在我们的辅导教学中，出现一些与考题相吻合或雷同的情况，纯属正常的教学规律现象。以2003-2004年考试为例，大量数学试题与清华教学题型相吻合或原题雷同，英语试题也大量由清华辅导教学内容所覆盖，政治吻合内容超过80%。但我们不同意“押题率”的说法，因为“押题率”含义难以界定。“押题率”的说法最终效果是对学生不负责任。

　　（2）防止误导之二-----  数学试卷二、四题目容易！

　　我们的回答：并非如此！ 许多人以为试卷二、四较容易，这是误导！

　试卷二、四只是要求范围小，但其中题目的分量与难度并不亚于试卷一和三。甚至，许多实例表明，试卷二和四常与试卷一三共用题目，并且，试卷二、四中微积分题目的难度超出试卷一、三也是常见情况。

　　（3）防止误导之三----试卷三、四考经济数学！

　　不少人认为，经济类考生,学过经济类高等数学或参加过经济类数学辅导班就够了。其实这是误导！试卷三、四历年题目表明，除个别题目有

一点经济述语之外，绝大部分题目的题型与试卷一相当，那些少量经济述语不会成为答卷障碍，少量涉及一些经济述语的题目，不过是一般理

工科数学教学中的例题而已一个考生，如果有较好的理工科数学基础，应答试卷三、四，将不会遇到任何困难，其成绩也定会超过一般学大学

经济管理类考生。如果只限于学习经济类数学教材，则必然距离考研要求相差甚远，达不到应有的应试水平。

　　我们的建议与结论：忘掉经济两个字，认真按着理工科数学三门学科的要求作好复习，努力造就良好的理工科数学基础，才会有成功的希望。

　　（4）自己的不懈努力最为重要

　　考生应明确一个问题：教学从来就是一个教学双方互动的过程。以清华大学考研辅导班的春季基础班为例，多年来，数以万计的考生从这里走向成功，其主要原因并不是清华大学考研辅导班有多高明，而主要是他们自身付出巨大努力的结果，这种努力就是他们把清华大学考研辅导班的辅导教学与他们自身的学习紧密结合，教学中保持与老师双方互动的教学效果。这才是至关重要的。清华大学考研辅导班只是为他们提供了必要的环境和指导。任何一个辅导机构或教师都不可能有灵丹妙药或金钥匙，若是某机构或某人宣称他有灵丹妙药和金钥匙，教育行家的回答是：那是欺骗。

　　（5）再回答一个问题：请问清华考研辅导班的任课老师中有命题组成员吗？

　　硕士研究生入学考试命题工作由国家教育部考试中心主持，考试中心由教育部每年聘请若干大学的教师组成，清华大学每年都有某些教师作为考试中心的重要成员参加工作，并在命题中起重要作用。应该严肃指出：

　　（1） 这些成员的姓名是国家机密，不可泄露。

　　（2） 考试中心命题组成员不得参与当年考试辅导教学与教材编写工作。

　　因此，若有某辅导机构声称其教师为命题组成员，则结论只能是二者之一：或违反国纪，或欺骗考生。

　　最后祝各位考生朋友幸运成功！

　　每一位考研朋友应根据自己的情况（大学本科学校的教学级别与个人学习基础等因素）制定一个复习计划。

　　第一阶段：3-6月分，安排系统复习，着重于基础，不要急于做模拟试题，注意知识的基础性、准确性与全面性。

　　第二阶段：暑期或秋季参加一个有权威性的正规大学举办的辅导班，有适当选择的选做一些必要的题目。注意知识的基础性、准确性、系统性和综合性。在正确的指导（防止压题之类的悟导）下，循序渐进过度到知识交叉性与综合性运用能力的培养，全面提升对知识的洞察力，紧密结合考研题型，为考研成功奠定坚实基础。

　　第三阶段：年底可参加一个强化班，适当做两套模拟试题（注意选用著名大学或出版社出版的模拟试题）。适当注意应试技巧与临场心理状态的修养。

　　选用教材要慎重

　　以数学为例，首先要有一套象样的教材，同济大学编写的《高等数学》《线性代数》及浙江大学编写的《概率论与数理统计》是许多学校选用的教材，这些教材应该说是很好的教材，但是尽限于这些教材，不足于使考生达到良好的考研应试状态，原因是书内概念的深度和广度不够，例题与习题类型和考研题型有教大差距。另有一些书多具有商业炒做特色，且常有误导作用，应慎重对待。

　　以下推荐的教材可使考生在复习中事半功倍，有效地梳理知识系统，尽快达到应试状态：

　　《大学数学----概念方法与技巧》（上册为微积分部分，由刘坤林、谭则光编写，下册为线性代数与概率统计部分，由俞正光等编写），清华大学出版社。

　　《高等数学典型题题典---考研数学应试能力进阶》，由刘坤林、莫骄、章纪民编写，东北大学出版社。

　　选择辅导班要慎重

  　　对虚张夸大的某些辅导班（多为民办或个体举办，甚至有打工卖菜夫妻举办的辅导班），比如以“名师名校、强强联合”“命中率如何如何” 为招牌诱惑考生的广告，应取慎重态度。要多方了解辅导班的背景与教员情况，要区别教师身份与机构的真伪并不困难，比如，访问网址http//math.tsinghua.edu.cn，即可看到清华大学数学科学系所有的教授、副教授名单、通讯地址、电话及E-mail地址，也能看到清华大学考研辅导班信息与课表等。